Малахов П.Н. - Как построить квадратуру круга

Малахов Павел Николаевич

Как построить квадратуру круга?

Опубликовано в журнале "Современная теософская мысль", 2019-2 (8)
а также: ж-л "Теософ" (The Theosophist), vol. 144, No. 10, июль 2023, cc. 26-34
на английском: Malakhov P. - Squaring the Circle

Нахождение квадратуры означает просто нахождение площади фигуры или поверхности. Математики Древней Греции под нахождением площади какой-либо фигуры понимали построение квадрата равновеликого этой фигуре – отсюда и пошло название. В современной математике для этого чаще используют термин «интеграл», но для классических задач и сейчас используют прежний термин. Таким образом задача нахождения квадратуры круга – это задача нахождения его площади, для чего могут быть использованы разные способы. Однако термин «квадратура круга» имеет вполне определённый и устойчивый смысл, сохранившийся от пифагорейской школы – построить именно квадрат равновеликий кругу, а не просто вычислить его площадь. Поскольку Пифагор и его ученики воспринимали всю математику и в частности геометрию как философию, т. е. инструмент для постижения законов мира через закон соответствий, то давайте и мы попробуем отнестись к поставленной задаче по-философски и рассмотреть её с разных сторон.

Углубиться в смысл квадратуры круга нам поможет понимание составных частей или понятий, описывающих круг и квадрат. Размышление над каждым из них в отдельности и сопоставление с аналогом во второй фигуре способно раскрыть немало тайн.

Геометрическое решение

Построение квадрата равновеликого по площади кругу – задача непростая, поскольку особенности этих геометрических фигур требуют для построения разные инструменты.

Круг определяется тремя параметрами: центральной точкой, множеством точек равноудалённых от центральной и расстоянием от этих точек до центральной. В геометрии для этого определены соответствующие понятия: центр, окружность и радиус.

Квадрат определяется длиной стороны и прямым углом, образованным при соединении каждой пары смежных сторон.

Площадь круга находится по формуле S = πR², площадь квадрата: S = a².

Какова же должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась площади круга? Несложные математические операции дают ответ: a = R√π, т. е. длина стороны зависит от числа пи, т. е. представляет из себя иррациональное и трансцендентальное число, число не имеющее законченного выражения в виде десятичной дроби. На практике это означает, что такой квадрат невозможно построить с помощью линейки и циркуля. Существует чисто теоретическое решение с помощью специальной кривой, называемой квадратриса, которая однако тоже имеет трансцендентальную природу, что опять же означает невозможность её точного построения с помощью физических инструментов.

Некоторые математики закрывали вопрос на этом этапе, делая вывод, что задача построения квадратуры круга неразрешима. Если исходить из узкой задачи графического построения квадрата равновеликого кругу при помощи циркуля и линейки, то – да, задача невыполнима, но геометры занимались вычислениями не только для практических строительных и инженерных целей, как философы они занимались изучением самих свойств фигур и способов их измерения, а также старались с помощью этих наглядных примеров изучать незримые соотношения и законы, полагая, что они имеют схожие свойства.

Язык математики – это язык символов, хорошо подходящий для формализации (то есть конкретного описания) разных областей знания. Некоторые области знания сложно понимаемы в собственных терминах. Описательный способ выражения мысли может быть очень долог и запутан, в то время как математические символы и действия позволяют сократить мысль до краткого состояния – формулы.

Давайте попробуем рассмотреть квадратуру круга как одну из таких формул, наглядно иллюстрирующую довольно сложные понятия в разных отраслях знания.

Космогоническое решение

Для того чтобы описать процесс появления мира (космогонию), можно использовать ряд простых символов (как это сделано, например, в Книге Дзиан), углубляясь в понимание которых можно составить более развёрнутое понимание довольно абстрактного процесса. Для нашей задачи нам достаточно взять три символа: круг, круг с диаметром и квадрат.

Круг представляет целостность будущего мира, всю полноту информации о нём: все законы, объекты и процессы. Он представляет вселенную до её проявления, а также её потенциал или идеал во время проявления.

Диаметр – это два радиуса, направленные строго в противоположных направлениях. Поэтому он хорошо подходит как символ двойственности, полярности и идеи противоположностей. Любые два радиуса делят площадь круга на две части, но только диаметр делает эти части равными, что тоже является хорошей иллюстрацией двойственности, причём двойственности равновеликой. Количество диаметров в круге бесконечно, но в тоже время все диаметры ограничены одной и той же общей для всех окружностью. Это свойство ограниченной бесконечности хорошо подходит для иллюстрации закона двойственности, проявляющегося во всех процессах единой вселенной: и в спиральных движениях космических тел (притяжение-отталкивание), и в материально-духовном (или энергетическом) строении всех объектов, и в нравственном ежедневном противостоянии добра и зла, и во всех остальных случаях, когда для каждого явления мы можем найти его противоположность. В виду того, что противоположности задают движение (или преобразование) от одного крайнего состояния к другому, диаметр хорошо подходит в качестве символа для любой творческой мощи.

Круг с диаметром – это начало проявления мира. Это определение условий и правил, по которым он будет проявляться, начало выявления всех пар противоположностей из состояния единосущности, это переход от «не было» в «стало», от покоя в движение, от однородности в разнообразие, от нечисла к числам и перечислениям и т. п.. Это определение законов до появления объектов – так называемое «первичное творение». Этот символ связывает идею (круг) и её проявление (квадрат). Он символизирует переходные или подготовительные процессы, вернее, он символизирует завершение подготовки мира к проявлению, в то время как начало подготовки символизируется центральной точкой в круге. После того как диаметр в круге определился начинается проявление.

Квадрат представляет сам мир, как мы его воспринимаем. С одной стороны, это совокупность всех объектов и явлений, с другой – совокупность всех субъективных представлений об этих объектах и явлениях. Другими словами, это всё, что мы можем наблюдать и ощущать, а также все наблюдатели с их мнениями и представлениями об увиденном и прочувствованном. Это «вторичное творение» или выявление идей в определённых формах.

Космогоническое решение построения квадратуры круга, таким образом, заключается в построении видимого мира. Этот процесс укрупнёно имеет четыре аспекта (и это одна из причин, почему он символизируется квадратом):

1. появление прообраза (или идеи) мира, включающего в себя все законы, по которым будет строиться мир;
2. появление образа (или мыслеобраза), определяющего план и подробности проявления;
3. появление вещества или элементов – среды для проявления;
4. появление физических объектов – конечная реализация в формах.

Очерёдность перечисления довольно условна, поскольку нам сложно представить любой из них в обособленности от остальных. Обычно их представляют в приведённой последовательности, чтобы отразить ещё и процесс понижения энергетической составляющей мира, за счёт возрастающего преобладания материальной составляющей. Другими словами, перехода энергии в материю, движения в объект, силы в форму и т. п.. Эти стадии (если их так воспринимать) не завершаются при появлении следующей, но являются постоянным источником и наполнением друг друга. Они дополняют или выявляют особенности друг друга, поэтому графически это лучше проиллюстрировать квадратом с обеими диагоналями.

Философское решение

Форма любой фигуры – это внешние ограничения, определяющие её свойства. Площадь фигуры – это её внутреннее содержание, смысл и наполнение. Форма определяет, то как именно будет выражен смысл. Неизменяемость площади в разных формах означает неизменность смысла при разных его выражениях. Эта мысль, наглядно выраженная в геометрических понятиях, соответствует одной из основных мыслей теософии: все мировые религии и философии имеют один источник и выражают те же нравственные и космические законы, но разными словами. Размышление над квадратурой круга помогает нам глубже понять идею Единой Жизни, проявляющейся в разных формах. Построить квадрат равный кругу по площади – это значит отразить в нём суть и смысл круга, т. е. всё, что содержалось в круге, смочь передать в другой форме, найдя соответствующие аналогии и сумев адекватно перенести (или отразить) каждую особенность круга в квадрат.

Графическое изображение этих фигур одинаковой площади, наложенных друг на друга, подчёркивает одну важную особенность: их формы выходят одна за другую. Это означает, что в каждой форме есть точки не принадлежащие другой и таким образом делающие эту форму уникальной. И тем не менее, несмотря на уникальность формы, содержание их совпадает, так как площади (то есть совокупность всех точек) равны. Это наглядное изображение позволяет перейти к двум любопытным размышлениям:

1) Это хорошая иллюстрация для Единства во множестве. На этом простом примере мы можем получить представление о том, как Единая Жизнь может отражаться во всём многообразии форм не меняясь в своём естестве.

2) Эта же иллюстрация поможет приблизиться к пониманию Всемирного Братства. Не только людей, но и всех существ. Мы все разные. Наши формы: физические, чувственные и мыслительные – все уникальны и индивидуальны, но все они лишь отражение Единой Жизни. Мы легче понимаем тех, чьи интересы и мировоззрение совпадают с нашими, т. е. там, где площади наших фигур пересекаются. Однако там, где форма другого человека выходит за наши рамки, там начинается непонимание, но там же и начинается расширение нашего сознания, наше развитие.

Философское понимание квадратуры круга даёт ключ к пониманию универсальных символов, позволяя заглянуть за их форму и увидеть их суть (площадь). Поразмыслив на примере простых плоских геометрических фигур над тем, в чём именно может быть их смысл одинаков при всём очевидном различии форм, любитель мудрости сможет легче понять тождественность более сложных символов.

Богословское решение

Давайте ещё раз, но несколько по-иному взглянем на те части двух фигур, которые выходят за границы друг друга. От круга остались четыре усечённые части, называемые в геометрии сегментами. От квадрата остались четыре треугольника, одной стороной в которых является дуга. Радиус кривизны этой дуги, будучи продолжением того же круга, равен радиусу искривления сегмента. То есть внешняя сторона одной особенности является внутренней для другой. В богословском толковании это можно объяснить как то, что Бог (круг) проявляется (окружность) в каждом существе (квадрат или любая другая фигура) как его внутренняя природа. Также это означает, что Бог, выходя своей мощью за пределы нашего понимания (внешние сегменты круга), в то же самое время может быть обнаружен и внутри нашей собственной природы (дуга треугольника).

Особый интерес вызывают части квадрата, выходящие за круг. Если круг – это символ всеохватывающего и всевмещающего Бога, обладающего всей полнотой знания и беспредельной мощью, тогда что же может быть вне его? К этому вопросу можно дополнить схожий: «Зачем всё вмещающему Абсолюту (в котором находится всё, что было и всё, что будет) проявляться, какова цель и смысл всего, что происходит, если результат уже известен?»

Возможным ответом на эти запредельные для человека вопросы может быть опыт. Опыт – это проверенное знание, прожитое и прочувствованное. Можно подробно описать путь восхождения на вершину горы. Можно знать все особенности гор, их флору и фауну, минералы, состав воздуха и климатические особенности. Можно чётко представлять все физиологические особенности человека, выполняющего тяжкий подъём: напряжение мышц, потоотделение, учащённое сердцебиение и т. п.. Можно иметь полное представление о всех трудностях и опасностях. Можно, наконец, понять тот восторг, который ощущает путник, поднявшись на вершину и созерцающий необъятные просторы. Каждую подробность этого пути можно знать и объяснить, но всё же знание не будет полным, если размышляющий не испытал этого сам. Именно опыт проявляет разницу между теорией и практикой, идеалом и жизнью, мечтами и действием.

Если мы хотим увидеть какой-то смысл в делах Бога, то опыт может быть подходящим ответом к квадратуре божественного круга. Давайте рассмотрим подробнее, какие значения можно придать символам, чтобы более точно и полно представить этот сложный метафизический процесс, чтобы он стал для нас нагляднее и понятнее.

Круг – символ божественного мира или, коллективно, – Бога. Квадрат – символ мира проявленного, мира форм.

Площадь круга – это совокупность всех законов, а площадь квадрата – это проявление этих законов. Первое содержит прообразы всех вещей и всех возможных их изменений, второе выявляет эти прообразы в объекты (предметы, вещи, существа и т. п.) и реализует все процессы их преобразований. Можно сказать, что площадь круга – это судьба мира (его карма, потенциал), а площадь квадрата – это жизнь, которая проявляет эту судьбу, делает её объективной или состоявшейся. Таким образом, построение квадратуры круга – это ничто иное как эволюция, процесс усовершенствования проявленного мира, выявление божественного замысла во всей его полноте.

Интересное геометрическое определение Бога, известное нам через Блеза Паскаля, позволяет более глубоко приникнуть в суть божественной природы. Он сказал: «Бог – это круг, центр которого везде, а окружность нигде».

Центр круга – это точка равновесия, покоя или потенциальность всего. Она является источником всех будущих проявлений. Это лайя-центр, состояние непроявленности, однородности (недиффиренцированности). Любая точка пространства содержит возможность проявления, поэтому центр круга находится везде.

Радиус – это мощь распространения божественной силы, это выявление потенциальности, это движение и деятельность как таковые. Радиус является мерой удаления проявления от источника. Поскольку эта деятельность распространяется с одинаковой силой в каждом направлении пространства, то мы можем говорить о бесконечном множестве радиусов, образующих собой окружность, а если принять во внимание движение, то бесконечно много концентрических окружностей. Примечательно, что одним из значений слова радиус (лат. radius) является «луч», т. е. направленное движение, имеющее источник и не имеющее окончания, а не ограниченный отрезок, соединяющий две точки.

Окружность определяется как совокупность точек, равноудалённых от центра. Также и божественная мысль (или мощь) распространяется одинаково по всем направлениям. Как предел круга, или как его максимальную мощность, окружность представляют самые высшие иерархии божественных сил, они выражают мощь Бога, являются его самыми высшими представителями. По сути, когда мы говорим или пытаемся представить Бога, мы имеем в виду его проявление, т. е. результаты некоей деятельности, и так как она присутствует в каждой точке пространства, то окружность (край, за которым уже нет круга) невозможно определить. Другими словами, она нигде.

Двойственный диаметр (два радиуса, направленные в противоположные стороны) представляет творческие силы, выявляющие божественную мысль в проявленную вселенную. Геометрический ключ диаметра даёт понимание непротиворечивости очевидной двойственности мира и тем не менее существование Единой Жизни. Диаметр – это вторичное понятие, возникающее от понятия радиуса. Также диаметр, является вторичным понятием от понятия хорды. Хорда – это расстояние между двумя точками окружности, то есть хорда – это взаимосвязь всех возможных крайних (или максимально выраженных) проявлений, и когда она выражает взаимосвязь противоположностей, то эту особую взаимосвязь наделяют собственным отличительным именем – диаметр.

В совокупности все эти понятия (характеристики круга) представляют божественный мир, называемый коллективно Богом. Когда Бог начинает действовать, то в пространстве появляется источник энергии, он же источник искривления пространства и он же источник излучения материальных частиц. Другими словами, появляется центр круга. Одновременно с этим появляется и окружность. Тем и хорош круг как символ, что он наглядно показывает, что в каждой точке пространства мощь божественной природы может быть проявлена и степень проявления определяется бесконечным радиусом – лучом. Дополнительной иллюстрацией к этому может служить любой источник света, испускающий свои лучи во все стороны.

Теперь, описав значение символов круга, если мы хотим выразить идею воплощения божественной мысли в проявленном мире, то нам нужно взять радиус и, используя эту величину, построить квадрат, найдя подходящую аналогию. Таким образом, если мощь круга определяется радиусом, то мощь квадрата – длинной стороны. Построив квадрат со стороной равной радиусу, мы получим символ реализации божественной мысли в мире форм. По этому построению становится очевидно, что не всю полноту божественной мысли удаётся реализовать (поскольку площади фигур разные), некие смыслы (идеи) остаются за гранью проявления. Для того чтобы их постичь, необходимо выйти за пределы проявленного мира, что возможно только благодаря мета-физическому мышлению.

В проявленном мире божественная идея реализуется в форме квадрата, сторона которого равна радиусу, но, чтобы эта форма проявленного мира соответствовала по содержанию (площади) божественной форме, мы должны добавить некий математический коэффициент, который привёл бы в соответствие проявленную идею и идею непроявленную. Чтобы одно соответствовало другому, нужно решить задачу квадратуры круга: надо сопоставить божественную мысль с ней же, проявленной в нашем мире. Несоответствие очевидно: наш мир несовершенен, происходит постоянное искажение божественных законов. Чтобы он был совершенен, нам нужно превзойти окружа­ющие нас обстоятельства, поскольку все обстоятельства нашей жизни – это лишь попытки проявить мир совершенный. Чтобы дотянуться до совершенного божественного мира, нам нужно в своём восприятии событий фактически выйти за пределы очевидностей. Только в этом случае мы сможем понять её и попытаться воплотить. Графически это хорошо представлено тем, что круг выходит за пределы квадрата и квадрат выходит за пределы круга.

Несомненное преимущество и польза геометрии в том, что она наглядно может представить сложные идеи. Так в простом изображении квадратуры круга мы можем увидеть иллюстрацию процесса познания или совершенствования – это выход за пределы какой-либо фигуры. С помощью математических формул мы видим, что есть некоторое конкретное выражение тех усилий, которые мы должны сделать, чтобы выйти за пределы ограничивающих нас форм. Так же как существует определённая скорость (числовая характеристика движения), чтобы преодолеть притяжение Земли и Солнечной системы (первая и вторая космические скорости), некая объективная характеристика наших усилий, – также и здесь есть некая характеристика сил внутренних, позволяющая преодолеть мир форм и войти в мир божественный. И эта характеристика выражается числом пи.

Формулы вычисления площадей круга и квадрата дают плодотворную подсказку для размышления также и над метафизическим смыслом квадратуры круга. Площадь круга равна числу пи, умноженному дважды на радиус, то есть на радиус в квадрате: S = πR². Другими словами, если взять квадрат с длинной стороны равной радиусу и увеличить его площадь в пи раз, то мы получим площадь круга. То есть реализованная или проявленная вселенная меньше, чем божественный замысел. Она не отражает его полностью. Это означает, что, даже обладая всей полнотой знания о проявленном мире, мы должны увеличить его в три с лишним раза, чтобы приблизиться к знанию божественного мира. Не в этом ли находится геометрический ключ к пониманию Троицы, как триединого Божества? То, что соотношение двух миров выражается не целым числом, тоже весьма символично. Троица реализует весь наш мир, но наш мир – это всего лишь один из этапов, виток в бесконечной спирали вечного движения. Всегда остаётся место для прогресса, для следующего цикла развития. Числа, подобные пи, называют трансцендентальными, т. е. пограничными, переводящими из одного состояния в другое, из мира в мир, из цикла в цикл.

Таким образом, богословское решение для построения квадратуры круга заключается в том, чтобы отразить и увидеть в повседневных явлениях жизни, в нашем ежедневном опыте всю полноту и целостность божественного замысла. То есть для каждого явления найти его место и смысл в общей системе. Другими словами – познать Единую Жизнь. Вернее не познать, а познавать, поскольку значение числа пи можно уточнять бесконечно, также как и наше понимание жизни.

* * *

В заключении статьи можно кратко привести ещё несколько решений квадратуры круга в других областях:

• Языковое (лингвистическое, филологическое) решение: выразить мысль разными словами и на разных языках, полностью передав её смысл.
• В проектировании, программировании и т. п. – найти такое решение, чтобы оно полностью отвечало техническому заданию.
• С нравственной точки зрения это может означать такое поведение человека, которое полностью соответствует его высшей природе.

Таким образом, используя закон соответствий, можно найти квадратуру круга в разных сферах деятельности человека. Когда мы понимаем, что всё в мире взаимосвязано, тогда легче понять как этот мир устроен. В этом суть теософии – убедительно показать, что в мире существует лишь Единая Жизнь, и всё, на что мы можем обратить свой взор, – это её проявления. Разнообразнейшие, порой кажущиеся нам несовместимыми явления, не похожие друг на друга как квадрат не похож на круг, и тем не менее, всё это разнообразие – это лишь виды проявления Единой Жизни, это одна площадь во множестве форм.

Сноски

---