Фракталы и красота
Опубликовано в журнале "Современная теософская мысль", 2019-1 (7)
Выступление на 8-й Всероссийской теософской конференции «Истина и красота вне границ и пределов», Кемерово, 2019
Из математического толкового словаря:
«Рекурсия – способ определения функций, при котором значения в каждой точке определяются через значения в предшествующих точках».
Фрактальная (рекурсивная) геометрия – это простое математическое выражение, которое производит бесконечно сложную геометрическую форму. При этом происходит изменение масштаба изображения, можно исследовать более точно все детали данной фигуры.
Существует очень много различных типов и классификаций фракталов и бесконечное число возможных способов их рассмотрения. Получающиеся образцы одновременно красивы и хаотичны, организованы и случайны, и в некоторых случаях могут даже получаться в результате странной и нелогичной геометрической ситуации, например, конечная область, ограниченная бесконечно длинным периметром.
Начиная с XIX столетия фракталы рассматривались как причудливая форма взаимодействия, не имеющая никакой практической цели. Но в 1970-х годах математик Бенуа Мандельброт предложил большое количество определений абстрактных измерений, находящихся вне евклидовой геометрии. Он предложил саму систему фракционных измерений.
В 1987 году доктор Майкл Барнсли выявил фрактальные преобразования, которые могут быть обнаружены в реально существующих изображениях и естественных формированиях. Это вело к некоторым практическим использованиям фракталов, типа рекурсивного сжатия изображения, которое широко используется в компьютерной обработке информации.
Теперь рассмотрим некоторые замечания из сборника статей Е. В. Николаевой (перевод в 2015 г.): «Фракталы как искусство». В этом сборнике содержатся статьи зарубежных математиков и художников-фракталистов. Проблематика этой книги связана с философскими и эстетическими смыслами фрактального искусства, представляющего собой особый художественный феномен конца XX – начала XXI веков. Фрактальное искусство принято называть ещё цифровым.
Бенуа Мандельброт (1924-2010) – известный франко-американский математик, основатель нового раздела математики – фрактальной геометрии. Он автор книги «Фрактальная геометрия природы» и других научных работ. Вот некоторые замечания из его работы «Какова длина побережья Великобритании? Статическое самоподобие и фрактальная размерность». Береговые линии представляют собой пример сложных кривых, таких, что каждый из их участников может в статическом смысле быть рассмотрен как образ целого в уменьшенном масштабе. Это свойство принято называть «статическим самоподобием». Он рассматривает эзотерическое понятие «Случайной фигуры фрактальной размерности» и утверждает, что это понятие имеет простое и конкретное применение и имеет большую практическую значимость.
Для измерения длины побережья географами применяется множество методов. Например, для оценки длины берега между точками А и В, можно по берегу провести кратчайшую линию от А до В, возможно, она не прямая, а с искривлениями, оставаясь от берега на некотором расстоянии G. Автор ссылается на эмпирические находки Ричардсона Л.Е., которые находятся в сильном контрасте с обычным поведением гладких кривых, которые наделены хорошо определяемой длиной и которые называют «спрямляемые». Но в природе обычно множество кривых неспрямляемых. Вот такими кривыми и занимается фрактальная геометрия.
Теперь рассмотрим вторую статью – статью Майкла Барнсли и Луизы Барнсли «Фрактальные трансформации». Майкл Барнсли – британский математик, автор нескольких патентов по фрактальному сжатию изображений на основе технологии JF9 (системы интегрируемых функций). В настоящее время он профессор математики в австралийском национальном университете.
Рассмотрим в этой его работе геометрические трансформации, а именно простые трансформации. Трансформации могут быть очень сложными. Они могут включать сгибание одной части пространства, сжатие другой и выражаться подробными формулами, для записи которых потребуется несколько страниц. Одна из целей фрактальной геометрии – это описание изображений природных объектов эффективным образом. Но мы ищем простые трансформации, которые легко описать, объяснить и понять.
Один источник простых трансформации – это классическая геометрия, которая включает в себя изучение свойств инвариантности серий трансформаций. Например, евклидова геометрия изучает свойства геометрических изображений, которые остаются неизменными, когда к ним применяются элементарные перемещения и вращения, то есть сдвиги и повороты на некоторый угол. Расстояние между парой точек является инвариантным (неизменным) при евклидовых трансформациях, как и угол между двумя прямыми линиями.
Геометрия подобий включает в себя трансформации евклидовой геометрии, а также трансформации подобий, называемых так потому, что они увеличивают или сжимают изображения при фиксированных факторах. Многие хорошо известные фракталы могут быть выражены с помощью трансформаций подобия, например, фрактал Серпинского и футбольное поле. Но проективная геометрия обеспечивает намного более простой набор трансформаций для описания природных форм. Рассмотрим эти проективные трансформации. Можно найти такую проективную трансформацию, которая преобразует один четырёхугольник в другой, заставляя при этом все углы переходить только в определённые углы. Например, делают чудесную чёткую фотографию дерева с множеством плоских листьев, некоторые из которых больше, некоторые меньше, но все одно и той же формы. Тогда все из этой массы листьев этого дерева на фотографии будут почти все проективными трансформациями друг друга.
Когда мы смотрим телевизор под неудобным углом зрения, изображения, которые попадают на нашу сетчатку глаза являются фактически проективной трансформации того, что увидели бы, если бы смотрели телевизор под прямым углом. Узнаваемость – это свойство инвариантности проективных трансформаций.
Проективные трансформации имеют такое свойство, что они часто трансформируют изображения растений и листьев в узнаваемые образы растений и листьев. Проективные трансформации переносят точки в точке, а прямые линии в прямые линии, а также они отображают все конические сечения, но необязательно круги в круги и т. п.
На рисунке 1 две различные фотографии сохраняющие эллипс проективными трансформациями букового листа, при этом прямые линии, вдоль которых располагаются прожилки, сохраняются.
Рассмотрим ещё один вид трансформаций – трансформации Мёбиуса, которые тоже являются простыми. Они часто используется для описания фракталов и имеют другое, по сравнению с проективными трансформациями, естественное аффинное подобие с образами реального мира. Они имеют примечательное свойство: трансформировать любой круг или в круг, или в прямую линию.
На рисунке 2 применена единственная трансформация Мёбиуса снова и снова к изображению человека на велосипеде. Колеса все круглые, за исключением участков по краям картинки. Углы тоже сохранены, каждая велосипедная рама является криволинейным треугольником с одними и тем же тремя углами.
Трансформации Мебиуса являются основным элементом гиперболической геометрии. Они использовались художником Эмером в некоторых его гравюрах.
Следующий рисунок 3 иллюстрирует теорему Вписанной Рыбы. Эта теорема демонстрирует то, что геометрия применяется не только к треугольникам, кругам и прямым линиям, но также и к изображениям всех других типов. На рисунке рыбы выглядят совершенно разными, они обладают некоторым общим свойством: если описать самую маленькую окружность вокруг каждой рыбы так, чтобы окружность касалось рыбы в трёх точках, тогда каждая рыба будет касаться своей окружностью одними теми же частями тела.
Ещё рассмотрим частично другую статью Бекуа Мандельброта: «Фракталы и искусство во имя науки». Эта новая форма искусства переопределяет границы между «изобретением» и «открытием», как они определяются в науках и «творчеством», как оно понимается в пластических искусствах. Может ли чистая геометрия восприниматься «человеком с улицы» как нечто прекрасное? Или может ли форма, которая задается простым уравнением, или правилом построения, восприниматься людьми далёкими от геометрии как эстетически ценнная, то есть, по крайней мере, как удивительно декоративная или как произведение искусства? Если геометрическая форма – фрактал, то ответ – да.
Привлекательны даже «сырые» фракталы. Они применимы для «рисования с помощью чисел» и удивительно эффектны даже в руках дилетанта. А эстетическое чутье настоящего художника находит в них новые и привлекательные средства выразительности.
За века создалось впечатление о том, что красота евклидовой геометрии проста и суха до неприличия. Однако, в 70-х годах 20-го века Мандельброту выпала привилегия сформировать и развить идею фрактальной геометрии, комплекс мыслей, формул и картин, который можно назвать или новой геометрией природы, или новым геометрическим языком. В результате была порождена новая форма искусства.
Первые работы по фрактальной геометрии были сделаны в компании JBM. Мандельбротом доказано, что фрактальная геометрия создала новую категорию искусства, следующую после искусства ради искусства и искусства ради коммерции: искусство во имя науки (и математики). Фрактальное искусство во имя науки неразрывно связано с использованием компьютеров. Оно не могло возникнуть раньше, чем появилось соответствующее оборудование и было разработано программное обеспечения, то есть раньше 70-х годов XX-го века.
Итак, благодаря сочетанию математики и компьютера, возникла фрактальная геометрия.
Нарисовать вручную простейшую фрактальную картинку, в принципе, осуществимо, но это потребовало бы много человеко-лет и было бы безумно дорогим мероприятием.
В итоге, можно дать такое неформальное определение фракталов:
Фракталы – это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме, то есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть как целое, или в точности, или, возможно, лишь с небольшой деформацией.